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半圆的面积怎么算(六年级1道阴影面积题)

时间：2022-07-16 12:31:13 来源：[db:来源]

小学开始逐渐学习一些常见的平面几何图形，比如三角形、长方形、正方形、圆等；以及这些图形简单的几何性质，比如周长、面积等。在小学数学中，阴影部分面积是一个常考题型，本文就和大家分享一道小学求阴影部分面积的题目，难住了不少大学生家长，有家长表示：先算算我们的心理阴影面积吧！

下面我们一起看一下这道题目。

题目如上图，已知长方形的宽为4cm，求阴影部分的面积。

从图就可以看出，这道题的难度确实不小，图中涉及到了多种几何图形，而阴影的图形又不规则，确实不太好解。其实，掌握方法后这道题并不难。

我们先看一下下面这道比较简单的题目。

如上图，已知正方形的边长为4cm，求阴影部分的面积。

这道题的图形比较简单，方法也多种多样，我们来看几种比较常见的方法，从而总结出规律，帮助我们解决文章开头的那道题。

方法一：切割法

观察原图，很容易发现：连接阴影部分的对角线将阴影部分分成了如上图面积相等的两部分，只需求出一部分的面积，整体面积也就求出来了。

求上图的面积就非常简单了，只需用原面积的四分之一减去左下角三角形面积即可，即π×4²/4-4×4/2=(4π-8)cm²。

所以整个阴影部分面积为：(8π-16)cm²。

方法二：旋转法/对称法

将原图旋转或者对称变换到上图的形式，很明显两个图的阴影面积是相等的。所以原图的阴影部分面积等于上图半圆的面积减去大三角形的面积，即π×4²/2-4×8/2=(8π-16)cm²。

方法三：容斥原理

在原图中各部分标上序号，如上图。那么，阴影部分面积就等于圆面积的四分之一(扇形)减去①的面积，即②=S扇形-①；而①的面积又等于正方形面积减去扇形面积，即①=S正-S扇形，代入前式得到：②=2S扇形-S正=2π×4²/4-4×4=(8π-16)cm²。

对上面的结论进行分析，可以发现正方形的面积就是两个扇形面积减去阴影部分面积，也就是减去了两个图形重合的部分，这就是容斥原理。容斥原理是求阴影面积的重要方法。

下面再看一道稍微复杂一点的容斥原理的应用，并熟悉容斥原理的解题过程。

如上图，长方形的长为6cm，宽为4cm，求阴影部分面积。

第一步：先对各部分标号，如上图；

第二步：用标号表示出基本图形和阴影面积。本题中，S小扇形=①＋②，S大扇形=②＋③＋④，S长方形=①＋②＋③，S阴影=②＋④；

第三步：根据标号，找出阴影面积与基本图形面积的关系并计算结果。如本题，②＋④=(①＋②)＋(②＋③＋④)-(①＋②＋③)，即S阴影=S小扇形＋S大扇形-S长方形=π×4²/4＋π×6²/4-4×6=(13π-24)cm²。

回到文章开头的题目，先对各部分标号，如上图。

S小扇形=②＋③＋④；

S大扇形=④＋⑤＋⑥；

S右上三角形=①＋②＋⑥＋⑦；

S长方形=①＋②＋③＋④＋⑤＋⑥＋⑦；

S阴影=②＋④＋⑥。

所以S阴影=S小扇形＋S大扇形＋S右上三角形-S长方形=π×2²/2＋π×4²/2＋4×8/2-4×8=(10π-16)cm²。

这道题目看似难度很大，但是方法实际上很简单，容斥原理轻松搞定。


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